The Mumford-Shah conjecture in image processing

On définit une image g(x) comme une fonction réelle sur le plan ; g(x) est compris comme le “niveau de gris” au point x. Par segmentation de g, on entend une image approximante u(x) qui est régulière par morceaux et qui minimise l'énergie E(u)=∫_Ω∖Su|Du(x)|²dx+∫_Ω(u(x)−g(x))²+H¹(S_u), où S_u désigne l'ensemble des discontinuités essentielles de u. La conjecture de Mumford–Shah (1985) exprime que S_u est un ensemble fini de courbes C¹ quand u est un minimum global de E. Cette conjecture a aussi une interprétation intéressante en physique de la fracturation des milieux élastiques. L'exposé s'attachera à décrire les différentes formalisations mathématiques du problème et leur apport à la conjecture : les fonctions spéciales à variation bornée de De Giorgi–Ambrosio, la méthode d'élimination de Dal Maso, Solimini et l'auteur, la rectifiabilité quantifiée de Françoise Dibos, Guy David et Stephen Semmes et la méthode de “blow-up”–“blow–in” d'Alexis Bonnet.